handout.tex

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\subtitle{Seminar Kategorientheorie}
\title{Der Einbettungssatz}
\author{Markus Himmel}
\date{19. Juli 2018}

\begin{document}
	\maketitle

%	\setcounter{section}{1}
%	\section{Aufwärmen}
%		\begin{proposition}[Explizite Berechnung kleiner filtrierter Colimiten in $\ccat{Set}$]\label{2-13-3}
%			Es sei $\cat{C}$ klein und filtriert und $F\colon \cat{C}\to\ccat{Set}$ ein
%			Funktor. Es ist $\colim_\cat{C} F = L$, wobei
%			\[
%				L=\faktor{\coprod_{C\in\cat{C}}FC}{\approx},\quad s_C\colon FC\to L;\ x\mapsto [x]_\approx.
%			\]
%			Die Äquivalenzrelation $\approx$ ist gegeben durch
%			\[
%				(x\in FC) \approx (x'\in FC') \defiff \exists C''\in\cat{C}, f\colon C\to C'', g\colon C'\to C'': Ff(x) = Fg(x').
%			\]
%		\end{proposition}
%		\p{\begin{proof}
%			Zu zeigen sind:
%			\begin{enumerate}[noitemsep]
%				\item $\approx$ ist eine Äquivalenzrelation.
%				%\item $L$ ist eine abelsche Gruppe.
%				\item Der gegebene Kegel ist ein Grenzkegel.
%			\end{enumerate}
%			\begin{enumerate}[label=Zu \arabic*:]
%					\begin{minipage}{0.7\textwidth}
%					\item Klar: $\approx$ ist reflexiv und symmetrisch. Sei $(x\in FC_1)
%					\approx (x' \in FC_2)$, $(x'\in FC_2) \approx (x''\in FC_3)$.
%					Es existieren also Morphismen $f, g, h, k$, sodass
%					$Ff(x) = Fg(x')$, $Fh(x')=Fk(x'')$. Da $\cat{C}$ filtriert,
%					existiert ein Cokegel $(\alpha_i\colon C_i\to C_6)$ über dem
%					gegebenen Diagramm. Insbesondere haben wir also
%					\begin{align*}
%						F\alpha_4 \circ Ff(x) &= F\alpha_4\circ Fg(x') = F\alpha_2(x')\\
%							&= F\alpha_5\circ Fh(x') = F\alpha_5\circ Fk(x'').
%					\end{align*}
%					Dies zeigt $x \approx x''$.
%					\end{minipage}
%					\begin{minipage}{0.25\textwidth}
%						\[\begin{tikzcd}[sep=1em]
%							C_1 \ar{dr}{f} \n \n\\
%							\n C_4 \ar{dr}{\alpha_4} \n\\
%							C_2 \ar{dr}{h} \ar{ur}{g} \ar{rr}{\alpha_2} \n \n C_6\\
%							\n C_5 \ar{ur}{\alpha_5} \n\\
%							C_3 \ar{ur}{k} \n \n
%						\end{tikzcd}\]
%					\end{minipage}
%				%\item Es sei $(x\in FC_1)\approx (x'\in FC_2)$, $(y\in FC_3)\approx(y'\in FC_4)$.
%				\item Es seien $C, C'\in\cat{C}$, $f\colon C\to C'$, $x\in C$.
%					Wegen $Ff(x) = F(\id_{C'})(Ff(x))$ gilt $s_C(x) = [x]_\approx
%					= [Ff(x)]_\approx = s_{C'}(Ff(x)) \implies s_C = s_{C'}\circ Ff$.
%					Also bilden die $s_C$ einen Kegel. Es sei ein weiterer Kegel
%					gegeben durch $(t_C\colon FC\to M)_{C\in\cat{C}}$. Definiere
%					$t\colon L\to M$ durch $t([x]_\approx)\coloneqq t_C(x)$ für
%					$x\in FC$. Dies ist wohldefiniert, denn für $x'\in FC'$ mit
%					$[x']_\approx = [x]_\approx$ existieren $f\colon C\to C''$,
%					$g\colon C'\to C''$ mit $Ff(x) = Fg(x')$. Da $t$ ein Kegel ist, folgt
%					\[
%						t_C(x) = t_{C''}\circ Ff(x) = t_{C''}\circ Fg(x') = t_{C'}(x').
%					\]
%					$t\circ s_C=t_C$ gilt per Konstruktion und $t$ wird durch diese
%					Identität eindeutig festgelegt.
%			\end{enumerate}
%		\end{proof}}
%		\begin{proposition}\label{2-5-9}
%			Es sei $\cat{C}$ eine Kategorie mit Pullbacks.
%			\[
%				\begin{tikzcd}[sep=4em]
%					A \ar{r}{a} \ar[phantom]{dr}{\text{(I)}} \ar{d}{c} & B \ar[phantom]{dr}{\text{(II)}} \ar{r}{b} \ar{d}{d} & C \ar{d}{e}\\
%					D \ar{r}{f} & E \ar{r}{g} & F
%				\end{tikzcd}
%			\]
%			Das obige Diagramm sei kommutativ.
%			\begin{enumerate}
%				\item Falls (I) und (II) Pullbacks sind, so ist auch das äußere
%					Rechteck ein Pullback.
%				\item Falls (II) und das äußere Quadrat Pullbacks sind, so ist auch
%					(I) ein Pullback.
%			\end{enumerate}
%		\end{proposition}
%		\p{\begin{proof}\leavevmode
%			\begin{enumerate}
%				\item Es seien $x\colon X\to D$, $y\colon X\to C$ mit $g\circ f\circ x = e\circ y$.
%					Pullback (II) liefert ein eindeutiges $z\colon X\to B$, sodass
%					$b\circ z = y$, $d\circ z = f\circ x$. Letztere Gleichheit und Pullback
%					(I) geben ein eindeutiges $w\colon X\to A$, sodass $a\circ w = z$, $c\circ w = x$.
%					Insbesondere gilt $b\circ a\circ w = b\circ z = y$. Es sei $w'\colon X\to A$ ein
%					weiterer Morphismus mit $b\circ a\circ w' = y$ und $c\circ w' = x$. Es gilt also
%					$b\circ (a\circ w') = y = b\circ (a\circ w)$ und
%					$d\circ(a\circ w') = f\circ (c\circ w') = f\circ x = f\circ c\circ w = d\circ (a\circ w)$.
%					Pullback (II) liefert $a\circ w'=a\circ w$. Weiter ist $c\circ w'= x = c\circ w$.
%					Pullback (I) liefert $w=w'$.
%				\item Es sei $(A', c', a')$ der Pullback von $f$ und $d$.
%					Wegen $d\circ a=f\circ c$ erhalten wir eine eindeutige Faktorisierung
%					$h\colon A\to A'$ mit $a'\circ h=a$, $c'\circ h=c$.
%					Mit (1) und da (II) ein Pullback ist, ist $(A', c', b\circ a')$ ein Pullback von
%					$(g\circ f, e)$. Es ist jedoch auch $(A, c, b\circ a)$ ein Pullback von $(g\circ f, e)$.
%					Da Limiten eindeutig sind, folgt $A\cong A'$. Es gilt $c'\circ h=c$
%					und $b\circ a'\circ h = b\circ a$, also ist $h$ \emph{die} Faktorisierung
%					zwischen den beiden Pullbacks. Da Limiten eindeutig sind, ist $A\cong A'$,
%					also muss $h$ ein Isomorphismus sein.
%					\end{enumerate}
%		\end{proof}}
%		\begin{proposition}\label{2-5-7}
%			In einer Kategorie $\cat{C}$ sei $f\colon A\to B$ der Coequalizer von
%			$x, y\colon X\rightrightarrows A$. Weiter existiere der Pullback
%			$\alpha, \beta\colon P\rightrightarrows A$ von $(f, f)$. Dann ist
%			$f$ auch der Coequalizer von $(\alpha, \beta)$.
%		\end{proposition}
%		\p{\begin{proof}
%			\[
%				\begin{tikzcd}[sep=1.4em]
%					\n X \ar{dl}[']{z} \ar[shift left]{d}{y} \ar[shift right, ']{d}{x} \n \\
%					P \ar[shift left]{r}{\alpha} \ar[shift right, ']{r}{\beta} \n \ar{d}{g} A \ar{r}{f} \n \ar{dl}{h} B \\
%					\n C \n
%				\end{tikzcd}
%			\]
%			Es sei $f$ der Coequalizer von $(x, y)$ und $(\alpha, \beta)$ der
%			Pullback von $(f, f)$. Wegen $f\circ x = f\circ y$ existiert ein
%			eindeutiger Morphismus $z\colon X \to P$ mit $\alpha\circ z = x$,
%			$\beta\circ z=y$. Ist nun $g\colon A\to C$ ein Morphismus mit
%			$g\circ\alpha = g\circ\beta$, so gilt $g\circ x = g\circ\alpha\circ z
%			= g\circ\beta\circ z = g\circ y$. Es ist aber $f$ der Coequalizer von
%			$(x, y)$, also existiert ein eindeutiges $h$ mit $g = h\circ f$.
%		\end{proof}}
	%\section{Der Einbettungssatz}
		\setcounter{section}{1}
		Es sei stets $\cat{A}$ eine kleine abelsche Kategorie.
		\begin{lemma}\label{1-14-1}
			Es sei $F\colon\cat{D}\to\ccat{Ab}^{\cat{A}}$ ein filtriertes Diagramm
			linksexakter additiver Funktoren. Dann ist auch $\colim_{D\in\cat{D}} F(D)$
			linksexakt und additiv.
		\end{lemma}
		\p{\begin{proof}
			Ohne.
		\end{proof}}
		\begin{definition}[Die Einbettung in $\ccat{Ab}$]
			Wir definieren die Einbettung $U\colon\cat{A}\to\ccat{Ab}$ durch
			$U\coloneqq \colim_{D\in\cat{D}}\cat{A}(\phi(D), {-})$.
			Die Kategorie $\cat{D}$ und der Funktor $\phi\colon\cat{D}\to\cat{A}$ sind
			noch zu konstruieren.
		\end{definition}
		\begin{overview}
			Für $A\in\cat{A}$ ist $U(A)=\colim_{D\in\cat{D}}\cat{A}(\phi(D), A)\in\ccat{Ab}$.
			Ist $\cat{D}$ kofiltriert, so ist $x\in U(A)$ eine Äquivalenzklasse
			von Morphismen der Form $\alpha\colon \phi(D)\to A$ für ein $D\in\cat{D}$.
			$\alpha\colon\phi(D)\to A$ und $\beta\colon\phi(D')\to A$ sind äquivalent
			genau dann wenn $D''\in\cat{D}$, $d\colon D''\to D$, $d'\colon D''\to D'$
			existieren, sodass das Diagramm
			\[
				\begin{tikzcd}
					\phi(D'')
						\ar{r}{\phi(d)}
						\ar{d}{\phi(d')} \n
					\phi(D)
						\ar{d}{\alpha} \\
					\phi(D')
						\ar{r}{\beta} \n
					A
				\end{tikzcd}
			\]
			kommutiert. Ist $g\colon A\to B$ ein Morphismus in $\cat{A}$, so gilt
			$U(g)([\alpha]) = [g\circ\alpha]$.
		\end{overview}
		\begin{lemma}
			Ist $\cat{D}$ kofiltriert, so ist $U$ linksexakt.
		\end{lemma}
		\p{\begin{proof}
			Jeder darstellbare Funktor $\cat{A}(A, {-})\colon\cat{A}\to\ccat{Ab}$
			präserviert Limiten, denn der darstellbare Funktor
			$\cat{A}(A, {-})\colon\cat{A}\to\ccat{Set}$ tut das (Vortrag),
			und der Vergissfunktor $\ccat{Ab}\to\ccat{Set}$ reflektiert Limiten
			(Ohne Beweis? Liegt daran dass er Isomorphismen reflektiert). Also
			ist $\cat{A}(A, {-})\colon \cat{A}\to\ccat{Ab}$ linksexakt (Vortrag).
			Da $Y$ kontravariant ist, ist $U$ ein filtrierter Colimes linksexakter
			Funktoren und mit \ref{1-14-1} selbst linksexakt.
		\end{proof}}
		\begin{lemma}
			Es sei $\cat{D}$ kofiltriert. Weiter besitze jeder Epimorphismus
			$f\colon A\twoheadrightarrow\phi(D)$ in $\cat{A}$ die Darstellung $f = \phi(d)$, wobei
			$d\colon D'\to D$ in $\cat{D}$. Dann erhält $U$ Epimorphismen.
		\end{lemma}
		\p{\begin{proof}
			Es sei $g\colon B\to C$ ein Epimorphismus in $\cat{A}$. $U(g)$ ist genau
			dann ein Epimorphismus, wenn er surjektiv ist. Wir verwenden \ref{2-13-3}
			(in $\ccat{Ab}$).

			Es sei $x\in U(C) = \colim_{D\in\cat{D}}\cat{A}(\phi(D), C)$. $x$ ist
			die Äquivalenzklasse eines Morphismus $\gamma\colon \phi(D)\to C$ in
			$\cat{A}$. Damit $U(g)$, surjektiv ist, muss $y\in U(B)$ existieren,
			sodass $U(g)(y)=x$. $y$ ist die Äquivalenzklasse eines Morphismus
			$\beta\colon\phi(D')\to B$. Es gilt $U(g)([\beta]_\approx) = [g\circ\beta]_\approx$,
			wir suchen also (Kontravarianz!) $D''\in\cat{D}$, $d\colon D''\to D$,
			$d'\colon D''\to D'$, sodass $g\circ\beta\circ\phi(d')=\gamma\circ\phi(d)$.

			\begin{minipage}{0.5\textwidth}
				\[
					\begin{tikzcd}[sep=1.6em]
						\phi(D') \ar{d}{\beta} \n \phi(D'') \ar[']{l}{\phi(d')} \ar{r}{\phi(d)} \n \phi(D)\ar{d}{\gamma}\\
						B \ar{rr}{g} \n \n C
					\end{tikzcd}
				\]
			\end{minipage}%
			\begin{minipage}{0.5\textwidth}
				\[
					\begin{tikzcd}[sep=1.6em]
						A \ar{d}{\alpha} \ar[two heads]{r}{f} \n \phi(D) \ar{d}{\gamma}\\
						B \ar[two heads]{r}{g} \n C
					\end{tikzcd}
				\]
			\end{minipage}

			Es sei $(A, \alpha, f)$ der Pullback von $(\gamma, g)$ in $\cat{A}$,
			also $g\circ\alpha = \gamma\circ f$.
			$f$ ist ein Epimorphismus, da $g$ ein Epimorphismus (Vortrag), und
			per Voraussetzung existiert $\overline{d}\colon \overline{D}\to D$
			mit $f=\phi(\overline{d})$. Die Wahlen $D'\coloneqq D''\coloneqq \overline{D}$,
			$\beta\coloneqq\alpha$, $d'\coloneqq\id_{\overline{D}}$, $d\coloneqq\overline{d}$
			liefern $g\circ\beta\circ\phi(d')=g\circ\alpha\circ\phi(\id_{\overline{D}})
			= g\circ\alpha = \gamma\circ f = \gamma\circ\phi(\overline{d}) = \gamma\circ\phi(d)$
			wie gewünscht.
		\end{proof}}
		\begin{lemma}
			Es sei $\cat{D}$ kofiltriert. Weiter gelte:
			\begin{enumerate}[label=(\arabic*)]
				\item $\forall A\in\cat{A}\ \exists D\in\cat{D}: A=\phi(D)$;
				\item $\phi(d)$ ist ein Epimorphismus in $\cat{A}$ für jeden Morphismus $d$ in $\cat{D}$.
			\end{enumerate}
			Dann ist $U$ treu.
		\end{lemma}
		\p{\begin{proof}
			Es seien $f\colon A\rightrightarrows B$ Morphismen in $\cat{A}$ mit
			$U(f)=U(g)$. $a\in U(A)$ sei die Äquivalenzklasse von $\alpha\colon\phi(D)\to A$.
			Es ist$[f\circ\alpha]_\approx=U(f)(a)=U(g)(a)=[g\circ\alpha]_\approx$, also
			existiert $d\colon D'\to D$ in $\cat{D}$ mit $f\circ\alpha\circ\phi(d)=g\circ\alpha\circ\phi(d)$.

			Ist nun $\phi(\overline{D})=A$ für ein $\overline{D}\in\cat{D}$ (Voraussetzung),
			so wähle $\alpha\coloneqq\id_{A}$. Wir erhalten $f\circ \id_A\circ\phi(d)=g\circ\id_A\circ\phi(d)$.
			Nach Voraussetzung ist $\phi(d)$ ein Epimorphismus und es folgt $f=g$.
		\end{proof}}
		\begin{theorem}[von der treuen Einbettung]\label{abeb}
			Jede kleine abelsche Kategorie lässt sich treu und exakt in die Kategorie
			der abelschen Gruppen einbetten.
		\end{theorem}
		\o{\begin{overview}
			Wir konstruieren eine kleine Kategorie $\cat{D}$ und einen Funktor
			$\phi\colon\cat{D}\to\cat{A}$, die die Voraussetzungen der vorangegangenen
			Hilfssätze erfüllen.
			$\cat{D}$ ist eine Poset-Kategorie und durch (vollständige) Induktion definiert: $\cat{D}\coloneqq\bigcup_{n\in\mathbb{N}_0}\cat{D}_n$,
			wobei $\cat{D}_0\subseteq \cat{D}_1\subseteq\cdots$.
			$\phi$ ist die Fortsetzung aller $\phi_n\colon \cat{D}_n\to\cat{A}$ ($n\in\mathbb{N}_0$).
			$\cat{D}_n$ und $\phi_n$ sollen folgende Eigenschaften haben:
			\begin{enumerate}[label=(\arabic*),noitemsep]
				\item Für $a, b\in\cat{D}_n$ existiert das Infimum $a\wedge b$;
				\item Für $n\leq m$ fallen $\phi_n$ und $\phi_m$ auf $\cat{D}_n$ zusammen;
				\item $\phi_n(d)$ ist ein Epimorphismus für jedes $n\in\mathbb{N}_0$ und
					für jeden Morphismus $d$ in $\cat{D}_n$;
				\item $\forall A\in\cat{A}\ \exists D\in\cat{D}_1:\phi_1(D)= A$;
				\item $\forall A\in\cat{A}, D\in\cat{D}_n, f\colon A\twoheadrightarrow\phi_n(D)\,\text{epi}
					\ \exists d\in\cat{D}_{n+1}, d\colon D'\to D: \phi_{n+1}(d)=f$;
				\item $\forall D_1, D_2\in\cat{D}_{n}: [D_1, D_2]_{\cat{D}_n}\coloneqq\set{D\in\cat{D}_n\given
					D_1\leq D\leq D_2}~\text{endlich}$;
				\item $\forall D_1, D_2\in\cat{D}_{n}: [D_1, D_2]_{\cat{D}_n} = [D_1, D_2]_{\cat{D}_{n+1}}$.
			\end{enumerate}
			$\cat{D}_0\coloneqq\set{*}$; $\phi_0(*)\coloneqq 0_\cat{A}$.
			$\cat{D}_n$ und $\phi_n$ werden durch (transfinite) Induktion definiert: $\cat{D}_{n+1}\coloneqq\bigcup_\alpha\cat{D}_n^\alpha$
			mit $\cat{D}_n^0\subseteq\cat{D}_n^1\subseteq\cdots$
			und $\phi_{n+1}$ ist die Fortsetzung aller $\phi_n^{\alpha}\colon \cat{D}_n^\alpha\to\cat{A}$, wobei die Successor Ordinals $\alpha+1$ alle
			Paare der Form $(D, f)$, $D\in\cat{D}_n$, $f\colon A\twoheadrightarrow\phi_n(D)$ epi durchnummerieren und
			folgende Voraussetzungen gelten:
			\begin{enumerate}[label=(\alph*),noitemsep]
				\item Für $a, b\in\cat{D}_n^\alpha$ existiert das Infimum $a\wedge b$;
				\item Für $\beta<\alpha$ fallen $\phi_n^\alpha$ und $\phi_n^\beta$ auf $\cat{D}_n^\beta$ zusammen;
				\item $\phi_n^\alpha(d)$ ist ein Epimorphismus für jedes $\alpha$ und jeden
					Morphismus $d$ in $\cat{D}_n^\alpha$;
				\item Es sei $(D, f)$ das von $\alpha$ indizierte Paar, wobei
					$f\colon A\to\phi_n(D)$. Dann existiert $d\colon D'\to D$ in
					$\cat{D}_n^\alpha$, sodass $\phi_n^\alpha(d) = f$;
				\item $\forall D_1, D_2\in\cat{D}_{n}^\alpha: [D_1, D_2]_{\cat{D}_n^\alpha}~\text{endlich}$;
				\item $\forall D_1, D_2\in\cat{D}_{n}^\alpha, \beta>\alpha: [D_1, D_2]_{\cat{D}_n^\alpha} = [D_1, D_2]_{\cat{D}_{n}^{\beta}}$.
			\end{enumerate}
			Es sei $(\cat{D}_n^\alpha,
			\phi_n^\alpha)$ definiert und $\alpha+1$ bezeichne das Paar $(D, f)$.
			$\down{D}\coloneqq\set{D'\in\cat{D}_n^\alpha\given D'\leq D}$. Definiere
			$\cat{D}_n^{\alpha+1}\coloneqq\cat{D}_n^\alpha\amalg\down{D}$. $D'^*$
			bezeichnet die Kopie von $D'\leq D$ aus $\down{D}$. Halbordnung durch
			Ordnungen auf $\cat{D}_n^\alpha$ und $\down{D}$ und durch die Relationen
			$D'^*\leq D'$ für $D'\leq D$. $\phi_n^{\alpha+1}(D^*)\coloneqq A$,
			$\phi_n^{\alpha+1}(D^*\leq D)\coloneqq f$. Rest durch Pullbacks:
			\[
				\begin{tikzcd}[column sep=8em]
					P \eqqcolon \phi_n^{\alpha+1}(D'^*)
						\ar[two heads]{d}{v\eqqcolon \phi_n^{\alpha + 1}(D'^*\leq D')}
						\ar[two heads]{r}{u\eqqcolon \phi_n^{\alpha+1}(D'^*\leq D^*)}
					\n A=\phi_n^{\alpha+1}(D^*)
						\ar[two heads]{d}{f = \phi_n^{\alpha+1}(D^*\leq D)}\\
					\phi_n^\alpha(D') \ar[two heads]{r}{\phi_n^\alpha(D'\leq D)} \n \phi_n(D)
				\end{tikzcd}
			\]
		\end{overview}}
		\p{\begin{proof}
			Wir konstruieren eine kleine Kategorie $\cat{D}$ und einen Funktor
			$\phi\colon\cat{D}\to\cat{A}$, die die Voraussetzungen der vorangegangenen
			Hilfssätze erfüllen. $\cat{D}$ wird eine Poset-Kategorie sein; im Folgenden
			bezeichnen $D$, $D_n$ und $D_n^\alpha$ je nach Kontext entweder die Halbordnung
			selbst oder die zugehörige Kategorie. Ebenso bezeichne $D_1\leq D_2$ je nach Kontext
			die Aussage oder den zugehörigen Morphismus.

			Wir konstruieren eine aufsteigende Folge $\cat{D}_0 \subseteq \cat{D}_1 \subseteq \cdots
			\subseteq \cat{D}_n \subseteq\cdots$ ($n\in\mathbb{N}_0$) von Halbordnungen und
			Funktoren $\phi_n\colon\cat{D}_n\to\cat{A}$, die die folgenden Eigenschaften
			erfüllen:
			\begin{enumerate}[label=(\arabic*),noitemsep]
				\item Für $a, b\in\cat{D}_n$ existiert das Infimum $a\wedge b$;
				\item Für $n\leq m$ fallen $\phi_n$ und $\phi_m$ auf $\cat{D}_n$ zusammen;
				\item $\phi_n(d)$ ist ein Epimorphismus für jedes $n\in\mathbb{N}$ und
					für jeden Morphismus $d$ in $\cat{D}_n$;
				\item $\forall A\in\cat{A}\ \exists D\in\cat{D}_1:\phi_1(D)= A$;
				\item $\forall A\in\cat{A}, D\in\cat{D}_n, f\colon A\twoheadrightarrow\phi_n(D)
					\ \exists d\in\cat{D}_{n+1}, d\colon D'\to D: \phi_{n+1}(d)=f$.
			\end{enumerate}
			Mit $\cat{D}\coloneqq\bigcup_{n\in\mathbb{N}_0}\cat{D}_n$ und der naheliegenden
			Fortsetzung der $\phi_n$ zu $\phi$ sind dann alle Voraussetzungen erfüllt.

			Definiere $\cat{D}_0\coloneqq\set{*}$, $\phi_0(*)\coloneqq0_\cat{A}$.
			Diese Wahlen besitzen offensichtlich die Eigenschaften (1) und (3).

			Sind $\cat{D}_0,\ldots,\cat{D}_n$ bereits definiert und (1), (2), (3)
			und (5) erfüllt, so bezeichnen wir die Paare $(D, f)$, wobei $D\in\cat{D}_n$
			und $f\colon A\twoheadrightarrow \phi_n(D)$, mit den aufeinanderfolgenden
			Successor-Ordinalen. Wir konstruieren nun eine aufsteigende Folge von
			Halbordnungen $\cat{D}_n^0\subseteq\cat{D}_n^1\subseteq\cdots\subseteq\cat{D}_n^\alpha\subseteq\cdots$,
			und eine Folge von Funktoren $\phi_n^\alpha\colon\cat{D}_n^\alpha\to\cat{A}$,
			wobei $\alpha$ bis zum Supremum der für die Paare verwendeten Indizes läuft und
			folgende Eigenschaften erfüllt sein sollen:
			\begin{enumerate}[label=(\alph*),noitemsep]
				\item Für $a, b\in\cat{D}_n^\alpha$ existiert das Infimum $a\wedge b$;
				\item Für $\beta<\alpha$ fallen $\phi_n^\alpha$ und $\phi_n^\beta$ auf $\cat{D}_n^\beta$;
				\item $\phi_n^\alpha(d)$ ist ein Epimorphismus für jedes $\alpha$ und jeden
					Morphismus $d$ in $\cat{D}_n^\alpha$;
				\item Es sei $(D, f)$ das von $\alpha$ indizierte Paar, wobei
					$f\colon A\to\phi_n(D)$. Dann existiert $d\colon D'\to D$ in
					$\cat{D}_n^\alpha$, sodass $\phi_n^\alpha(d) = f$.
			\end{enumerate}
			Mit $\cat{D}_{n+1}\coloneqq\bigcup_\alpha D_n^\alpha$ und der naheliegenden
			Fortsetzung $\phi_{n+1}\colon\cat{D}_{n+1}\to\cat{A}$ sind dann (1), (2), (3)
			und (5) erfüllt.

			$(\cat{D}_n^0, \phi_n^0)\coloneqq (\cat{D}_n, \phi_n)$. Ist $\alpha$ ein
			Limit-Ordinal, wähle $\cat{D}_n^\alpha\coloneqq\bigcup_{\beta<\alpha}\cat{D}_n^\beta$
			und für $\phi_n^\alpha$ die entsprechende Fortsetzung. Es sei $(\cat{D}_n^\alpha,
			\phi_n^\alpha)$ definiert und $\alpha+1$ bezeichne das Paar $(D, f)$.
			Wir betrachten für die Menge $\down{D}\coloneqq\set{D'\in\cat{D}_n^\alpha\given D'\leq D}$
			die disjunkte Vereinigung $\cat{D}_n^\alpha\amalg\down{D}$. $D'^*$
			bezeichne die Kopie von $D'\leq D$ aus $\down{D}$. Wir versehen
			$\cat{D}_n^\alpha\amalg\down{D}$ mit einer Halbordnung, indem wir die
			Ordnungen auf $\cat{D}_n^\alpha$ und $\down{D}$ übernehmen und zusätzlich
			$D'^*\leq D'$ für alle $D'\leq D$ fordern. $\cat{D}_n^{\alpha+1}\coloneqq
			\cat{D}_n^\alpha\amalg\down{D}$ mit der eben beschriebenen Halbordnung.
			In $\down{D}$ existieren Infima. Für $D_1\in\down{D}, D_2\in\cat{D}_n^\alpha$
			haben wir $(D_1\wedge D_2)^*=D_1^*\wedge D_2$ in $\cat{D}_n^{\alpha+1}$.

			Auf $\cat{D}_n^\alpha$ definieren wir $\phi_{n+1}^\alpha$ als gleich
			$\phi_n^\alpha$. Weiter definieren wir $\phi_n^{\alpha+1}(D^*)\coloneqq A$
			und $\phi_n^{\alpha+1}(D^*\leq D)\coloneqq f$.
			\[
				\begin{tikzcd}[column sep=8em]
					P \eqqcolon \phi_n^{\alpha+1}(D'^*)
						\ar[two heads]{d}{v\eqqcolon \phi_n^{\alpha + 1}(D'^*\leq D')}
						\ar[two heads]{r}{u\eqqcolon \phi_n^{\alpha+1}(D'^*\leq D^*)}
					\n A=\phi_n^{\alpha+1}(D^*)
						\ar[two heads]{d}{f = \phi_n^{\alpha+1}(D^*\leq D)}\\
					\phi_n^\alpha(D') \ar[two heads]{r}{\phi_n^\alpha(D'\leq D)} \n \phi_n(D)
				\end{tikzcd}
			\]

			Für $D'\leq D$ definieren wir $(\phi_n^{\alpha+1}, \phi_n^{\alpha+1}(D'^*\leq D'),
			\phi_n^{\alpha+1}(D'^*\leq D^*))$ durch den Pullback
			von $(f, \phi_n^\alpha(D'\leq D))$ in $\cat{A}$. Die durch den Pullback
			definierten Morphismen sind Epimorphismen, weil $f$ und $\phi_n^\alpha(D'\leq D)$
			Epimorphismen sind.
			\[
				\begin{tikzcd}[column sep=9em]
					P=\phi_n^{\alpha+1}(D'^*)
						\ar[two heads]{d}{x=\phi_n^{\alpha+1}(D'^*\leq D')}
						\ar[two heads]{r}{y\eqqcolon \phi_n^{\alpha+1}(D'^*\leq D''^*)} \n
					\phi_n^{\alpha+1}(D''^*)
						\ar[two heads]{d}{}
						\ar[two heads]{r}{} \n
					A
						\ar[two heads]{d}{f} \\
					\phi_n^\alpha(D')
						\ar[two heads]{r}{\phi_n^\alpha(D'\leq D'')} \n
					\phi_n^\alpha(D'')
						\ar[two heads]{r}{\phi_n^\alpha(D''\leq D)} \n
					\phi_n(D)
				\end{tikzcd}
			\]
			Für $D'\leq D''\leq D$ in $\cat{D}_n^\alpha$ betrachte obiges Diagramm,
			in dem beide Quadrate Pullbacks sind. Das äußere Quadrat ist ein Pullback
			und es ist $\phi_n^\alpha(D''\leq D)\circ\phi_n^\alpha(D'\leq D'')=\phi_n^\alpha(D'\leq D)$,
			daher folgt $P=\phi_n^{\alpha+1}(D'^*)$
			und $x=\phi_n^{\alpha+1}(D'^*\leq D')$
			nach vorangegangener Definiton. Wir definieren $\phi_n^{\alpha+1}(D'^*\leq D''^*)\coloneqq y$.

			Für $D'\leq D$, $D'\leq D''$ in $\cat{D}_n^\alpha$ definiere
			$\phi_n^{\alpha+1}(D'^*\leq D'')\coloneqq \phi_n^{\alpha+1}(D'\leq D'')
			\circ\phi_n^{\alpha+1}(D'^*\leq D')$.

			$\phi_n^{\alpha+1}$ ist ein Funktor aufgrund der Verknüpfungseigenschaften
			von Pullbacks.
			Die Konstruktion der $\cat{D}_n^\alpha$, $\phi_n^\alpha$ stellt sicher,
			dass die Eigenschaften gegeben sind. Insbesondere haben wir
			$\phi_n^{\alpha+1}(D^*\leq D)=f$.

			Wir zeigen noch Eigenschaft (4). Die Konstruktion von $\cat{D}_1$ läuft
			über alle Paare $(*, f)$, wobei $f\colon A\to 0_\cat{A}$ ein Epimorphismus.
			Es ist aber jeder Morphismus $A\to 0_\cat{A}$ ein Epimorphismus, denn
			$0_\cat{A}$ ist initial, das heißt wenn $u\circ f=v\circ f$, dann kommt für $u$ und $v$
			überhaupt nur ein Morphismus in Frage. Da $0_\cat{A}$ terminal ist,
			haben wir für jedes $A$ in $\cat{A}$ ein entsprechendes Paar $(*, f)$,
			und Forderung (d) liefert, was wir brauchen.
		\end{proof}}

		Die Aussagen von \ref{fact} und \ref{func} beziehen sich auf
		Wahlen für $\cat{D}$ und $\phi$ wie gerade konstruiert.
		\p{\begin{proof}
			Wir spielen die beiden verschachtelten Induktionen noch einmal durch und
			zeigen für zwei Elemente $D_1, D_2$, die an einer Stelle der Konstruktion
			zusammen auftauchen:
			\begin{enumerate}[label=(\arabic*),noitemsep]
				\item $[D_1, D_2]$ ist endlich,
				\item $[D_1, D_2]$ wird sich in keinem weiteren Schritt noch
					verändern.
			\end{enumerate}
			$\cat{D}_0 = \set{*}$ erfüllt (1). Falls $\cat{D}_n^\alpha$ die Bedingungen
			erfüllt, betrachte $D_1, D_2$ in $\cat{D}_n^{\alpha+1}$. Die Konstruktion
			von $\cat{D}_n^{\alpha+1}$ stellt sicher, dass $D'\leq D^*$ für ein Element
			$D'$ in $\cat{D}_n^\alpha$ und ein Element $D^*$, das in $\cat{D}_n^\alpha$
			neu dazukommt, nicht vorkommen kann.

			Es seien $D_1, D_2\in\cat{D}_n^{\alpha+1}$, $D_1\leq D_2$.
			Falls $D_1, D_2\in\cat{D}_n^\alpha$,
			so ist $[D_1, D_2]$ in $\cat{D}_n^{\alpha+1}$ unverändert gegenüber
			$\cat{D}_n^{\alpha}$. Falls $D_1, D_2\notin\cat{D}_n^{\alpha}$,
			dann existieren $D, D'\in\cat{D}_n^\alpha$ mit $D_1=D^*, D_2=D'^*$.
			$[D_1,D_2]$ in $\cat{D}_n^{\alpha+1}$ ist dann isomorph zu $[D, D']$
			in $\cat{D}_n^\alpha$, also nach Voraussetzung endlich.
			Falls $D_1\notin\cat{D}_n^\alpha$, $D_2\in\cat{D}_n^\alpha$, dann ist
			$D_1=D^*$ und $[D_1, D_2] = [D^*, D_2^*]\cup[D, D_2]$, also endlich.
			$D_1\in\cat{D}_n^\alpha$, $D_2\notin\cat{D}_n^\alpha$ kann nicht eintreten.

			Da die Bedingungen bei jedem Successor-Ordinal erhalten bleiben, bleiben
			sie auch bei einem Limit-Ordinal erhalten (der Limit-Schritt fügt ja gar
			keine Objekte hinzu).
		\end{proof}}
		\begin{lemma}\label{fact}
			Sind $D_1, D_2\in\cat{D}$ Objekte mit $D_1\leq D_2$, so ist die kanonische Faktorisierung
			\[
				\begin{tikzcd}
					\phi(D_1) \arrow[r] & \lim_{D_1<D\leq D_2}\phi(D)
				\end{tikzcd}
			\]
			ein Epimorphismus.
		\end{lemma}
		\p{\begin{proof}
			Wieder mit Induktion über den Moment, in dem $D_1$ eingeführt wird. Da in
			einem späteren Schritt keine Elemente $D'$ mit $D_1\leq D'$ eingeführt werden,
			sind in diesem Schritt bereits alle Elemente der Form $D_1<D\leq D_2$ vorhanden.

			Falls $D_1\in\cat{D}_0$, so folgt $D_1=*=D_2$, und der Limes über die
			leere Kategorie ist gerade $0_\cat{A}$. Der Morphismus $\phi(D_1)\to 0_\cat{A}$ ist
			ein Epimorphismus wie eben beobachtet.

			Bei einem Limit-Schritt kommen keine neuen Objekte hinzu, also verbleibt der Fall,
			dass $D_1$ in der Konstruktion von $\cat{D}_n^{\alpha+1}$ eingeführt wird. Es existiert
			ein $D_0\in\cat{D}_n^\alpha$ mit $D_1=D_0^*$. Es ist nun entweder $D_2\in\cat{D}_n^\alpha$
			oder $D_2\notin\cat{D}_n^\alpha$.

			Falls $D_1=D_2\notin\cat{D}_n^\alpha$ sind wir in der gleichen Situation wie im Fall
			$D_1\in\cat{D}_0$.
			\[
				\begin{tikzcd}[column sep=5em, row sep=3em]
					\phi(D_0^*)
						\ar{d}{}
						\ar[phantom]{dr}{\text{(1)}}
						\ar[two heads]{r}{f^*} \n
					\lim_{D_0^*<D^*\leq D_{00}^*}\phi(D^*)
						\ar[phantom]{dr}{\text{(2)}}
						\ar{d}{}
						\ar{r}{p_{D^*}} \n
					\phi(D^*)
						\ar[phantom]{dr}{\text{(3)}}
						\ar{d}{}
						\ar{r}{\phi(D^*\leq D_{00}^*)} \n
					\phi(D_{00}^*)
						\ar{d}{} \\
					\phi(D_0)
						\ar[two heads]{r}{f} \n
					\lim_{D_0<D\leq D_{00}}\phi(D)
						\ar{r}{p_D} \n
					\phi(D)
						\ar{r}{\phi(D\leq D_{00})} \n
					\phi(D_{00})
				\end{tikzcd}
			\]
			Falls $D_1\neq D_2\notin \cat{D}_n^\alpha$, $D_2=D_{00}^*$ für ein
			$D_{00}\in\cat{D}_n^\alpha$, betrachte das Diagramm, wobei
			$D$ beliebig mit $D_1<D\leq D_2$. (3) ist ein Pullback
			nach Konstruktion. Da ein Grenzkegel ein Kegel ist, gilt
			$\phi(D\leq D_{00})\circ p_D = p_{D_{00}}$, $\phi(D^*\leq D_{00}^*)\circ p_{D^*}
			= p_{D_{00}^*}$. Wir haben also ein Rechteck (2-3), bei dem
			es sich gerade um den Limes der Pullbacks (3) handelt. Durch Vertauschung
			von Limiten ist auch (2-3) ein Pullback. Da aber auch das äußere Rechteck
			nach Konstruktion ein Pullback ist, liefert \ref{2-5-9}, dass auch (1) ein
			Pullback ist. Nach Induktionsvoraussetzung ist $f$ ein Epimorphismus, also ist auch
			$f^*$ ein Epimorphismus.

			Der verbleibende Fall ist $D_1=D_0^*$, $D_2\in\cat{D}_n^\alpha$. Der Index
			$\alpha + 1$ bezeichne das Paar $(\overline{D}, \overline{f})$. Falls
			$D_0 = \overline{D}$, so ist $D_1$ das einzige Objekt aus $[D_1, D_2]\cap\down{\overline{D}}$,
			also gilt $\set{D\given D_1<D\leq D_2}=[\overline{D}, D_2]$. Dieses Segment
			hat aber das initiale Objekt $\overline{D}$, also ist der gesuchte Limes gerade
			$\phi(\overline{D})$ (ohne Beweis: Hat $\cat{C}$ ein initiales Objekt $0_\cat{C}$, so ist
			$\lim_\cat{C} F = F(0_\cat{C})$) und die Faktorisierung ist $\overline{f}$ nach
			Konstruktion.

			Ohne Beweis: Falls $D_1=D_0^*<\overline{D}^*$ und $D_2\in\cat{D}_n^\alpha$,
			so ist der Limes gerade $\phi(D_1)$ und die Faktorisierung durch die Identität gegeben.
		\end{proof}}
		\begin{lemma}\label{func}
			Es sei $D_0\in\cat{D}$ ein Objekt und $\Gamma\colon \down{D_0}\to\cat{A}$
			ein Funktor, wobei für alle $D_1\leq D_2\leq D_0$ die Faktorisierung
			\[
				\begin{tikzcd}
					\Gamma(D_1) \arrow[r] & \lim_{D_1<D\leq D_2} \Gamma(D)
				\end{tikzcd}
			\]
			ein Epimorphismus sei. Weiter sei $F\colon\cat{A}\to\ccat{Ab}$ ein exakter
			Funktor und $\alpha_{D_0}\colon \cat{A}(\Gamma D_0, {-})\nat F$
			eine natürliche Transformation. Dann besitzt $\alpha_{D_0}$ die
			Faktorisierung
			\[
				\begin{tikzcd}
					\cat{A}(\Gamma D_0, {-}) \arrow[Rightarrow]{r}{s_{D_0}} & \colim_{D\leq D_0}\cat{A}(\Gamma D, {-}) \arrow[Rightarrow]{r}{\alpha} & F.
				\end{tikzcd}
			\]
			$s_{D_0}$ ist hierbei der kanonische Morphismus des Colimes.
		\end{lemma}
		\p{\begin{proof}
			Eine Teilmenge $S\subseteq\down{D_0}$ nennen wir finales Segment von
			$D_0$, falls $D\in S \wedge D\leq D'\leq D_0 \implies D'\in S$.

			Es sei $\mathcal{S}$ die Menge aller Paare $(S, (\alpha_D)_{D\in S})$
			für die gilt:
			\begin{enumerate}[label=(\arabic*),noitemsep]
				\item $S$ ist finales Segment von $\down{D_0}$,
				\item Die $\alpha_D\colon\cat{A}(\Gamma(D), {-})\nat F$ mit $D\in S$ bilden einen Cokegel (in $\ccat{Ab}^\cat{A}$).
				\item $\alpha_{D_0}$ stimmt mit dem aus der Behauptung überein.
			\end{enumerate}
			Wir definieren eine Halbordnung auf $\mathcal{S}$ durch
			\[
				(S, (\alpha_D)_{D\in S})\leq (S', (\alpha_D')_{D\in S})\defiff S\subseteq S'\wedge \forall D\in S: \alpha_D'=\alpha_D.
			\]
			Jede aufsteigende Kette in $\mathcal{S}$ hat eine obere Schranke (durch
			Vereinigung und Erweiterung). Das Lemma von Zorn liefert ein maximales
			Element $(\overline{S}, (\alpha_D)_{D\in\overline{S}})$. Falls $\overline{S}=\down{D_0}$,
			so haben wir einen Cokegel in der Funktorkategorie gefunden, der zu dem in der Behauptung
			gegebenen Colimes passt und damit auch die zugehörige Faktorisierung.

			Falls $\overline{S}\neq\down{D_0}$, existiert $D_1\leq D_0$, $D_1\notin\overline{S}$.
			Das Segment $[D_1, D_0]$ ist endlich nach \ref{fin} und daher finden wir
			ein $D_2\in [D_1, D_0]$ mit $D_2\notin\overline{S}$, $\forall D_2<D\leq D_0:D\in\overline{S}$.
			Das Yoneda-Lemma ordnet für jedes $D$ mit $D_2<D\leq D_0$ der natürlichen
			Transformation $\alpha_D\colon\cat{A}(\Gamma(D),{-})\nat F$ ein Element $a_D\in F\Gamma(D)$ zu.
			Die abelsche Gruppe $\lim_{D_2<D\leq D_0}F\Gamma(D)$ nimmt die Form
			\[
				\lim_{D_2<D\leq D_0}F\Gamma(D) = \set{(b_D)_D\in\prod_{D_2<D\leq D_0} F\Gamma(D)\given F\Gamma(D'\leq D'')(b_{D'}) = b_{D''}}
			\]
			an. Da $F$ exakt ist und der Limes endich ist, haben wir $\lim_{D_2<D\leq D_0}F\Gamma(D) = F(\lim_{D_2<D\leq D_0}\Gamma(D))$.
			Die $a_D$ konstituieren jedoch gerade ein Objekt aus diesem Limes, denn die
			Bedingung folgt aus der Kegeleigenschaft und der Natürlichkeit in der ersten
			Komponente des Yoneda-Lemmas. Sei also $a\coloneqq (a_D)_D\in F(\lim\Gamma(D))$.

			Die Faktorisierung $\beta\colon\Gamma(D_2)\to\lim\Gamma(D)$ ist ein Epimorphismus
			nach Voraussetzung. $F$ ist aber exakt, also ist $F(\beta)$ ein Epimorphismus,
			also surjektiv. Wähle also $a_{D_2}\in F\Gamma(D_2)$ mit $F(\beta)(a_{D_2})=a$.
			Dann gilt insbesondere für $D_2<D\leq D_0$: $F\Gamma(D_2\leq D)(a_{D_2})=a_D$.
			Dann wissen wir aber, dass für die vom Yoneda-Lemma erhaltene natürliche
			Transformation $\alpha_{D_2}\colon\cat{A}(\Gamma D_2, {-})\nat F$ gerade
			$\alpha_D=\alpha_{D_2}\circ (\Gamma(D_2\leq D))^*$ gilt.

			Weiter haben wir $D_2$ so gewählt, dass $\overline{S}\cup\set{D_2}$ ein finales
			Segment in $\down{D_0}$ ist. Damit ist $(\overline{S}\cup\set{D_2}, (\alpha_D)_{D\in\overline{S}\cup\set{D_2}})$
			eine echte Erweiterung von $(\overline{S}, (\alpha_D)_{D\in\overline{S}})$,
			ein Widerspruch.
		\end{proof}}
		\begin{theorem}[von der volltreuen Einbettung; Einbettungssatz von Freyd-Mitchell]
			Für jede kleine abelsche Kategorie existieren ein Ring $R$ und eine volltreue
			und exakte Einbettung in die Kategorie $\ccat{Mod}_R$ der (links-)$R$-Moduln.
		\end{theorem}
		%\o{\begin{overview}
		%	$R\coloneqq\ccat{Nat}(U, U)$. Für $A\in\cat{A}$ ist $U(A)$ durch $r\cdot x\coloneqq r_A(x)$
		%	ein $R$-Modul. $U(f)$ ist $R$-linear. $V\colon\cat{A}\to\ccat{Mod}_R$ fasst das Bild von $U$
		%	als $R$-Moduln und $R$-lineare Abbildungen auf; ist treu und exakt, weil $U$ es ist.
		%	Zeige noch: $V$ ist voll, in mehreren Schritten:
		%	\begin{itemize}[noitemsep]
		%		\item Konstruktion des Funktors $\pi\colon\down{\delta_A}\to\cat{A}$ durch
		%			Kernel Pairs
		%			\[
		%				\begin{tikzcd}[column sep=4em]
		%					\pi(D)
		%						\ar[shift left]{r}{u_D}
		%						\ar[shift right, ']{r}{v_D}
		%						\ar{d}{\pi(D\leq D')} \n
		%					\phi(D)
		%						\ar{r}{\phi(D\leq\delta_A)}
		%						\ar{d}{\phi(D\leq D')} \n
		%					A
		%						\ar{d}{\id_A} \\
		%					\pi(D')
		%						\ar[shift left]{r}{u_{D'}}
		%						\ar[shift right, ']{r}{v_{D'}} \n
		%					\phi(D')
		%						\ar{r}{\phi(D'\leq\delta_A)} \n
		%					A
		%				\end{tikzcd}
		%			\]
		%			\begin{itemize}[noitemsep]
		%				\item Konstruktion von $u, v\colon U\nat P$ und des
		%					Equalizers $w$
		%				\begin{gather*}
		%					\begin{tikzcd}[column sep=6em]
		%						\cat{A}(\pi D,{-}) \n
		%						\cat{A}(\phi D, {-})
		%							\ar[shift right, ']{l}{u_D^*}
		%							\ar[shift left]{l}{v_D^*} \n
		%						\cat{A}(A, {-})
		%							\ar[']{l}{\phi(D\leq\delta_A)^*}
		%					\end{tikzcd}\\
		%					\text{\rotatebox[origin=c]{270}{$\leadsto$}}\colim\\
		%					\begin{tikzcd}
		%						P \n
		%						U
		%							\ar[shift right, ']{l}{u}
		%							\ar[shift left]{l}{v} \n
		%						\cat{A}(A,{-})
		%							\ar[tail,']{l}{w}
		%					\end{tikzcd}
		%				\end{gather*}
		%			\end{itemize}
		%		\item $\pi$ erfüllt die Voraussetzungen von \ref{func}
		%		\item $V$ ist voll: Finden eines Urbilds von $\varphi\colon U(A)\to U(B)$
		%			\begin{itemize}[noitemsep]
		%				\item Konstruktion des Urbilds $f$ durch Faktorisierung von $\beta$ durch den Equalizer $w$
		%					\[
		%						\begin{tikzcd}
		%							P \n
		%							U
		%								\ar[shift right,']{l}{u}
		%								\ar[shift left]{l}{v} \n
		%							\cat{A}(A,{-})
		%								\ar[tail]{l}{w} \\ \n
		%							\cat{A}(B,{-})
		%								\ar{u}{\beta}
		%								\ar[densely dotted, ']{ru}{f^*}
		%						\end{tikzcd}
		%					\]
		%					\begin{itemize}[noitemsep]
		%						\item $u\circ\beta = v\circ\beta$ durch Widerspruch
		%					\end{itemize}
		%				\item Nachweis, dass $U(f)=\varphi$
		%			\end{itemize}
		%	\end{itemize}
		%\end{overview}}
		\p{\begin{proof}
			Es sei $U\colon\cat{A}\to\ccat{Ab}$ wie in \ref{abeb} konstruiert und
			$\ccat{Nat}(U, U)$ die abelsche Gruppe der natürlichen Transformationen
			von $U$ nach $U$ (Kategorie der additiven Funktoren ist präadditiv). Zusammen mit einer
			durch Komposition definierten Multiplikation wird diese Gruppe zu einem
			Ring $R\coloneqq\ccat{Nat}(U, U)$. Dass das aufgeht, liegt daran, dass
			$\cat{A}$ und $\ccat{Add}(\cat{A}, \ccat{Ab})$ präadditiv sind.

			Für ein Objekt $A\in\cat{A}$ definieren wir eine Skalarmultiplikation
			$R\cross U(A)\to U(A)$; $(r, x)\mapsto r_A(x)$. Man rechnet nach, dass
			das tatsächlich eine $R$-Modulstruktur auf $U(A)$ definiert und verwendet
			dabei, dass $r_A$ ein Gruppenhomomorphismus ist und dass die Addition
			auf $R$ punktweise funktioniert.

			Es sei $f\colon A\to B$ ein Pfeil in $\cat{A}$. Wir haben für $x\in U(A)$ die
			Identität $r\cdot (Uf)(x) = r_B((Uf)(x)) = (Uf)(r_A(x)) = (Uf)(r\cdot x)$,
			denn $r$ ist eine natürliche Transformation. $Uf$ ist also $R$-linear.

			Insgesamt erhalten wir, dass wir das Bild von $U$ anstatt als abelsche Gruppen
			und Gruppenhomomorphismen auch als $R$-Moduln und $R$-lineare Abbildungen
			auffassen können. Nobel ausgedrückt haben wir die Faktorisierung
			\begin{tikzcd}
				\cat{A} \ar{r}{V} \n \ccat{Mod}_R \ar{r}{W} \n \ccat{Ab}
			\end{tikzcd}
			von $U$, wobei $W$ einfach die $R$-Modulstruktur vergisst.
			Der Funktor $V$ ist unsere Einbettung. Da Limiten und Colimiten
			in $\ccat{Mod}_R$ genauso funktionieren wie in $\ccat{Ab}$,
			erbt $V$ die Exaktheit von $U$. Da $U$ treu ist, muss auch $V$ treu sein.
			Das einzige, was sich verändert hat, ist dass in $\ccat{Mod}_R$ die
			Morphismengruppen zwischen zwei Objekten, auf die unser Funktor abbildet,
			jetzt kleiner sind, da wir ja auch $R$-Linearität fordern. Wir werden jetzt
			noch zeigen, dass wir sie genau so kleiner gemacht haben, dass $V$ voll
			ist.

			Es sei zunächst $A\in\cat{A}$, $p_A\colon A\to 0_\cat{A}$ der Epimorphismus
			zum Nullelement und $\alpha+1$ die zu $(*, p_A)$ gehörende Ordinalzahl
			in der Konstruktion von $\cat{D}_1$. $\cat{D}_0^{\alpha+1}$ entsteht durch
			Kopie von $\down{*}=\cat{D}_0^\alpha$. $\delta_A$ sei die Kopie von $*$,
			die auf diese Weise entsteht. Es gilt nach Konstruktion $\phi(\delta_A)=A$,
			$\phi(\delta_A\leq *)=p_A$.
			\[
				\begin{tikzcd}[column sep=4em]
					\pi(D)
						\ar[shift left]{r}{u_D}
						\ar[shift right, ']{r}{v_D}
						\ar{d}{\pi(D\leq D')} \n
					\phi(D)
						\ar{r}{\phi(D\leq\delta_A)}
						\ar{d}{\phi(D\leq D')} \n
					A
						\ar{d}{\id_A} \\
					\pi(D')
						\ar[shift left]{r}{u_{D'}}
						\ar[shift right, ']{r}{v_{D'}} \n
					\phi(D')
						\ar{r}{\phi(D'\leq\delta_A)} \n
					A
				\end{tikzcd}
			\]
			Es sei $D\leq\delta_A$. Im Diagramm sei $(u_D, v_D)$ der Pullback von $\phi(D\leq\delta_A)$ mit
			sich selbst. Für $D\leq D'\leq\delta_A$ sei weiter $(u_{D'}, v_{D'})$
			der Pullback von $\phi(D'\leq\delta_A)$ mit sich selbst. Definieren
			$\pi(D)$ und $\pi(D')$ als die zugehörigen Objekte. Das rechte
			Quadrat kommutiert, da $\phi$ ein Funktor ist. Die universelle Eigenschaft
			des unteren Pullbacks liefert einen eindeutigen Morphismus $\pi(D)\to\pi(D')$,
			der als Definition von $\pi(D\leq D')$ dienen soll. Auf diese Weise erhalten wir
			einen Funktor $\pi\colon\down{\delta_A}\to\cat{A}$.

			$\phi(D\leq\delta_A)$ ist ein Epimorphismus, also ein Cokern, also ein
			Coequalizer. \ref{2-5-7} verrät uns, dass $\phi(D\leq\delta_A)$ auch der
			Coequalizer von $(u_D, v_D)$ ist. Wenn wir darauf die kontravariante
			Yoneda-Einbettung anwenden, werden Colimiten in Limiten transformiert
			(Vortrag) und wir erhalten folgenden Equalizer:
			\[
				\begin{tikzcd}[column sep=6em]
					\cat{A}(\pi D,{-}) \n
					\cat{A}(\phi D, {-})
						\ar[shift right, ']{l}{u_D^*}
						\ar[shift left]{l}{v_D^*} \n
					\cat{A}(A, {-})
						\ar[']{l}{\phi(D\leq\delta_A)^*}
				\end{tikzcd}
			\]
			Man nehme überall den Colimes über $\down{\delta_A}$:
			\[
				\begin{tikzcd}
					P \n
					U
						\ar[shift right, ']{l}{u}
						\ar[shift left]{l}{v} \n
					\cat{A}(A,{-})
						\ar[tail,']{l}{w}
				\end{tikzcd}
			\]
			In der Mitte steht tatsächlich $U$, denn $\down{\delta_A}$ ist
			initial in $\cat{D}$ (ohne Beweis). Rechts steht
			$\cat{A}(A,{-})$, weil der Ausdruck ja gar nicht von $D$ abhängt.
			Weil wir endliche Limiten und filtrierte Colimiten vertauschen dürfen
			(das hat uns Paul in $\ccat{Set}$ gezeigt, und wir glauben das mal wieder
			in $\ccat{Ab}$), ist $w$ der Equalizer von $(u, v)$.
			\[
				\begin{tikzcd}[column sep=4em]
					\lim_{D_1<D\leq D_2}\pi(D)
						\ar[shift left]{r}{\lim u_D}
						\ar[shift right, ']{r}{\lim v_D} \n
					\lim_{D_1<D\leq D_2}\phi(D)
						\ar{r}{l} \n
					A
				\end{tikzcd}
			\]
			Es seien $D_1\leq D_2\leq\delta_A$. Im Diagramm wurde bei der Definition
			von $\pi(D)$, die ja ein Kernel Pair war, überall der Limes genommen.
			Durch Vertauschung von Limiten ist auch dieses Diagramm wieder ein
			Kernel Pair.
			\[
				\begin{tikzcd}[sep=3em]
					\pi(D_1)
						\ar[two heads]{r}{}
						\ar[two heads]{d}{} \n
					\bullet
						\ar{r}{}
						\ar[two heads]{d}{} \n
					\phi(D_1)
						\ar[two heads]{d}{m} \\
					\bullet
						\ar[two heads]{r}{}
						\ar[two heads]{d}{} \n
					\lim\pi(D)
						\ar{r}{}
						\ar{d}{} \n
					\lim\phi(D)
						\ar{d}{l} \\
					\phi(D_1)
						\ar[two heads]{r}{m} \n
					\lim\phi(D)
						\ar{r}{l} \n
					A
				\end{tikzcd}
			\]
			$m$ ist ein Epimorphismus nach \ref{fact}. $l\circ m$ ist gerade
			$\phi(D_1\leq\delta_A)$, also ist der Pullback des äußeren Quadrats
			gerade die Definition von $\pi(D_1)$. Da $m$ ein Epimorphismus ist,
			erhalten wir, dass die Faktorisierung $\pi(D_1)\to\lim\pi(D)$ ein
			Epimorphismus ist. In anderen Worten: $\pi$ erfüllt die Voraussetzungen
			von \ref{func}.

			Es seien $A, B\in\cat{A}$ und $\varphi\colon U(A)\to U(B)$ ein
			$R$-Modulhomomorphismus. Das vorhin konstruierte $w\colon \cat{A}(A,{-})\nat U$
			korrespondiert nach dem Yoneda-Lemma mit $a = w_A(\id_A)\in U(A)$.
			Wieder das Yoneda-Lemma ordnet $\varphi(a)\in U(B)$ eine natürliche
			Transformation $\beta\colon\cat{A}(B,{-})\nat U$ zu, wobei
			$\beta_C(g) = U(g)(\varphi(a))$.
			\[
				\begin{tikzcd}
					P
						\ar[bend left=90]{r}{t} \n
					U
						\ar[shift right,']{l}{u}
						\ar[shift left]{l}{v} \n
					\cat{A}(A,{-})
						\ar[tail]{l}{w} \\ \n
					\cat{A}(B,{-})
						\ar{u}{\beta}
						\ar[densely dotted, ']{ru}{f^*}
				\end{tikzcd}
			\]
			Wir wollen zeigen: $u\circ\beta=v\circ\beta$. Da $w$ der Equalizer
			von $(u, v)$ ist, gibt es dann eine eindeutige Faktorisierung, die nach
			dem Yoneda-Lemma die Form $f^*$ für irgendein $f\colon A\to B$ annimmt.

			Angenommen, es wäre $u\circ\beta\neq v\circ\beta$. $\beta$ korrespondiert
			mit $\varphi(a)\in U(B) = \colim_{D\leq\delta_B}\cat{A}(\phi(D), B)$, ist
			also die Äquivalenzklasse eines Morphismus $x\colon\phi(D)\to B$ für
			irgendein $D\leq\delta_B$. Wenn $u\circ\beta\neq v\circ\beta$, dann muss
			auch $x\circ u_D\neq x\circ v_D$, was man am Diagramm abliest, denn die
			linken beiden Dreiecke kommutieren:
			\[
				\begin{tikzcd}[sep=4em]
					\cat{A}(B,{-})
						\ar[shift left]{r}{u\circ\beta}
						\ar[shift right, ']{r}{v\circ\beta}
						\ar[shift left]{dr}{(x\circ u_D)^*}
						\ar[shift right, ']{dr}{(x\circ v_D)^*} \n
					P
						\ar[densely dotted]{r}{t} \n
					U \\ \n
					\cat{A}(\pi(D),{-})
						\ar[tail]{ru}{w'}
						\ar{u}{s_D}
				\end{tikzcd}
			\]
			Der Monomorphismus $w'$ entsteht aus der Konstruktion für $w$, indem
			man für $A$ konkret $\pi(D)$ einsetzt. \ref{fact} liefert die Faktorisierung
			$t\colon P\to U$ mit $t\circ s_A=w'$. Da $w'$ ein Monomorphismus ist, erhalten
			wir $t\circ u\circ\beta=w'\circ(x\circ u_D)^*\neq w'\circ(x\circ v_D)^*=t\circ v\circ\beta$.
			Auf der anderen Seite sind $t\circ u, t\circ v\in R$, und für alle $C\in\cat{A}$,
			$g\colon B\to C$ haben wir
			\begin{align*}
				(t_C\circ u_C\circ \beta_C)(g) &= (t\circ u)\cdot((U(g)\circ\varphi)(a))\\
					&= (U(g)\circ\varphi)((t\circ u)\cdot a)\\
					&= (U(g)\circ\varphi)((t\circ u)\cdot w_A(\id_A))\\
					&= (U(g)\circ\varphi)((t_A\circ u_A\circ w_A)(\id_A))\\
					&= (U(g)\circ\varphi)((t_A\circ v_A\circ w_A)(\id_A))\\
					&= (U(g)\circ\varphi)((t\circ v)\cdot w_A(\id_A))\\
					&= (U(g)\circ\varphi)((t\circ v)\cdot a)\\
					&= (t\circ v)\cdot((U(g)\circ\varphi)(a))\\
					&= (t_C\circ v_C\circ\beta_C)(g),
			\end{align*}
			woraus aber $t\circ u\circ\beta=t\circ v\circ\beta$ folgt, ein Widerspruch.
			Wir haben also unser $f\colon A\to B$ bekommen und werden nun zeigen, dass
			tatsächlich $U(f)=\varphi$ gilt.
			\[
				\begin{tikzcd}[sep=3em]
					U \n
					\cat{A}(\phi(D),{-})
						\ar[']{l}{\xi}
						\ar{d}{s_D} \\
					\cat{A}(A,{-})
						\ar{u}{\chi}
						\ar[tail, near start]{ru}{y^*}
						\ar[tail, ']{r}{w} \n
					U
						\ar[densely dotted, near start]{ul}{r}
				\end{tikzcd}
			\]
			Es sei $x\in U(A)$. $\chi\colon\cat{A}(A,{-})\nat U$
			sei die von $x$ durch das Yoneda-Lemma erhaltene natürliche Transformation.
			Sei weiter $y\colon\phi(D)\to\cat{A}$, sodass $[y]_\approx\in U(A)$ mit
			$w\colon\cat{A}(A,{-})\nat U$ von vorhin korrespondiert.
			Wir haben $s_D\circ y^*=w$. $w$ ist aber ein Monomorphismus, also
			muss auch $y^*$ ein Monomorphismus sein. Wenn wir also
			$p, q\colon A\rightrightarrows B$ haben, so gilt
			$y^*\circ p^* = y^*\circ q^*\implies p=q$, also $p\circ y=q\circ y\implies p=q$,
			$y$ ist also ein Epimorphismus. Da $U$ exakt, erhält er Epimorphismen,
			also ist $U(y)\colon U(\phi(D))\to U(A)$ ein Epimorphismus, also surjektiv.
			Wähle also $z\in U(\phi(D))$ mit $U(y)(z)=x$. Es sei $\xi\colon\cat{A}(\phi(D),{-})\nat U$
			die zugehörige natürliche Transformation. Aus $U(y)(z)=x$ folgt
			$\xi\circ y^*=\chi$. Wegen \ref{fact} erfüllt $U$ die Voraussetzungen
			von \ref{func} und wir erhalten $r\colon U\to U$ mit $r\circ s_D = \xi$.
			Weiter gilt
			\[
				r\circ w = r\circ s_D\circ y^* = \xi\circ y^* = \chi.
			\]
			Mit letzten Kräften:
			\begin{align*}
				\varphi(x) &= \varphi(\chi_A(\id_A))\\
					&= \varphi(r_A\circ w_A(\id_A))\\
					&= (r_B\circ\varphi)(w_A(\id_A))\\
					&= r_B(\varphi(a))\\
					&= r_B(\beta_B(\id_B))\\
					&= r_B((w_B \circ f^*_B)(\id_B))\\
					&= (r_B\circ w_B\circ f^*_B)(\id_B)\\
					&= \chi_B(f^*_B(\id_B))\\
					&= \chi_B(f)\\
					&= U(f)(x)
			\end{align*}
		\end{proof}}
\end{document}